Вписаний кут, який спирається на діаметр кола, називається прямим кутом. Це означає, що його міра дорівнює 90 градусів.

Доведення цього твердження базується на теоремі про кут, вписаний у півколо. Відповідно до цієї теореми, вписаний кут, який спирається на діаметр, є прямим.

Можна також вивести це твердження, використовуючи властивості діаметрів і хорд. Діаметр кола є найдовшою хордою, що проходить через центр кола, а пряма, проведена через центр кола перпендикулярно до діаметра, є діаметром. Таким чином, кут, утворений діаметром і хордою, яка перпендикулярна до неї, є прямим кутом.

Ця властивість має важливі наслідки в геометрії. Наприклад, вона використовується для доведення того, що сума кутів трикутника дорівнює 180 градусам. Крім того, цей факт використовується в різних задачах на побудову, таких як побудова перпендикуляра до прямої за допомогою циркуля і лінійки.

Ще одним важливим наслідком є те, що кути, які спираються на один і той же діаметр, є рівними. Це випливає з того факту, що сума кутів у півколі дорівнює 180 градусам. Отже, якщо два кути спираються на один і той же діаметр, то їхня сума становить 180 градусів, а отже, кожен з них має міру 90 градусів.

Узагальнюючи, можна сказати, що вписаний кут, який спирається на діаметр кола, є прямим кутом. Це твердження має ряд важливих наслідків у геометрії та використовується в різних задачах на побудову.

Вписаний кут, що спирається на діаметр

Вписаний кут, що спирається на діаметр — це кут, утворений двома хордами, які з'єднують кінці діаметра в колі. Діаметр є відрізком, що з'єднує дві точки кола і проходить через його центр. Вписаний кут, що спирається на діаметр, спирається на дугу кола, що є половиною повної окружності.

Міра вписаного кута, що спирається на діаметр, дорівнює половині міри дуги, на яку він спирається. Іншими словами, якщо θ — міра вписаного кута, а s — міра дуги, то θ = s/2. Це твердження відоме як теорема про вписаний кут.

Теорема про вписаний кут має багато важливих наслідків:

• Вписані кути, що спираються на ту саму дугу, є рівними.
• Вписаний кут, що спирається на півколо, є прямим кутом (90 градусів).
• Якщо вписаний кут спирається на діаметр, то його вершина лежить на діаметрі.

Вписані кути, що спираються на діаметр, використовуються в різних геометричних задачах, наприклад, для побудови правильних багатокутників, розрахунку довжин дуг і площ сегментів.

Доведення теореми про вписаний кут можна здійснити за допомогою відомого факту, що сума внутрішніх кутів вписаного чотирикутника дорівнює 360 градусів. Розіб'ємо вписаний чотирикутник ACKB на два трикутники ACK і BCK. У трикутнику ACK кут BAK є зовнішнім кутом, тому його міра дорівнює сумі мір двох протилежних внутрішніх кутів, тобто ∠ACK + ∠AKB. Аналогічно, у трикутнику BCK кут ABK є зовнішнім кутом, тому його міра дорівнює сумі мір двох протилежних внутрішніх кутів, тобто ∠BCK + ∠ BAK. Таким чином, сума мір вписаних кутів, що спираються на дугу AB, дорівнює ∠ACK + ∠AKB + ∠BCK + ∠BAK = 180 градусів, оскільки сума кутів в чотирикутнику дорівнює 360 градусів. Оскільки дуга AB є півкола, то її міра дорівнює 180 градусів. Отже, кожен із вписаних кутів, що спираються на дугу AB, дорівнює половині цієї міри, тобто 90 градусів.

Думки експертів

Прізвище: Архімед

Ім'я: Сіракузький

Експерт з геометрії

Вписаний кут, що спирається на діаметр кола

Вписаний кут – це кут, вершина якого лежить на колі, а його сторони є дотичними до кола. Вписаний кут, що спирається на діаметр кола, має особливу властивість:

Теорема: Вписаний кут, що спирається на діаметр, є прямим кутом.

Доведення:

Розглянемо коло з діаметром AB. Нехай C – будь-яка точка на колі, окрім A і B. Проведемо радіуси AC і BC.

Вписаний кут ∠ACB є кутом, вершина якого лежить на колі (C), а його сторони є дотичними до кола (AC і BC).

Крім того, трикутник ABC є рівностороннім, оскільки AC = BC (радіуси кола).

У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні. Таким чином,

∠ACB = (180° – ∠ABC) / 2 = (180° – 90°) / 2 = 90°.

Отже, вписаний кут ∠ACB є прямим кутом. Оскільки це справедливо для будь-якої точки C на колі, окрім A і B, ми довели, що вписаний кут, що спирається на діаметр кола, завжди є прямим кутом.

Ця теорема є важливою властивістю кіл і широко використовується в геометрії та тригонометрії.

Відповіді на питання

Запитання 1: Який кут утворений діаметром окружності і хордою, що спирається на цей діаметр?

Відповідь: Прямий кут (90 градусів).

Запитання 2: Як називається кут, утворений діаметром і дотичною до окружності в точці, де діаметр перетинає дотичну?

Відповідь: Прямий кут (90 градусів).

Запитання 3: Якщо два кути вписані в одну окружність і спираються на один і той же діаметр, чи вони рівні?

Відповідь: Так, вони рівні.

Запитання 4: Який вигляд має вписаний кут, що спирається на половину діаметра?

Відповідь: Прямий кут (90 градусів).

Запитання 5: Чи можливий вписаний кут, що спирається на діаметр, більший за 90 градусів?

Відповідь: Ні, вписаний кут, що спирається на діаметр, не може бути більшим за 90 градусів.